数学函数

数学函数

在C++中，数学函数（如绝对值、取整、三角函数等）需要包含标准库 <cmath> 才能使用，这些函数在信奥赛中常用于几何计算、数值处理等。

一、基础数学函数（信奥赛高频使用）

基础数学函数

1. 绝对值函数

用于计算一个数的绝对值，针对不同数据类型有重载版本：

函数原型	作用	示例	结果
int abs(int x)	计算整数x的绝对值	abs(-5)	5
long long llabs(long long x)	计算长整数x的绝对值	llabs(-123456789LL)	123456789
double fabs(double x)	计算浮点数x的绝对值	fabs(-3.14)	3.14

注意：整数绝对值优先用 abs 或 llabs，浮点数必须用 fabs（避免精度问题）。

2. 取整函数（四舍五入、上取整、下取整）

用于对浮点数进行取整操作，信奥赛中几何题和数值计算常涉及：

函数原型	作用	示例	结果
double round(double x)	四舍五入到最近整数（返回double）	round(3.6)	4.0
double ceil(double x)	上取整（返回不小于x的最小整数）	ceil(3.2)	4.0
double floor(double x)	下取整（返回不大于x的最大整数）	floor(3.8)	3.0

信奥赛技巧：若需返回整数类型，需显式转换：

c++

int a = (int)round(3.6);  // a = 4
int b = (int)ceil(3.2);   // b = 4

注意：负数取整需注意方向：

c++

floor(-3.2);  // 结果-4.0（下取整，更小的数）
ceil(-3.8);   // 结果-3.0（上取整，更大的数）

3. 平方根函数

用于计算非负数的平方根，返回double类型：

函数原型	作用	示例	结果
double sqrt(double x)	计算x的算术平方根（x≥0）	sqrt(25)	5.0
double hypot(double x, double y)	计算√(x²+y²)（避免溢出）	hypot(3,4)	5.0

应用：计算两点间距离（几何题核心）：

c++

// 点(x1,y1)与(x2,y2)的距离
double dist(double x1, double y1, double x2, double y2) {
    return hypot(x1 - x2, y1 - y2);  // 等价于sqrt((x1-x2)² + (y1-y2)²)
}

二、三角函数（角度需转换为弧度）

C++三角函数的参数和返回值均为弧度（而非角度），信奥赛中几何旋转、角度计算需用到：

函数原型	作用	示例（参数为弧度）	结果（近似）
double sin(double x)	正弦函数	sin(M_PI / 2)	1.0
double cos(double x)	余弦函数	cos(M_PI)	-1.0
double tan(double x)	正切函数	tan(M_PI / 4)	1.0
double asin(double x)	反正弦函数（返回弧度）	asin(1.0)	π/2
double acos(double x)	反余弦函数	acos(-1.0)	π

三角函数

角度转弧度公式：弧度 = 角度 × π / 180

c++

double angle = 90;  // 90度
double rad = angle * M_PI / 180;  // 转换为弧度（π/2）
cout << sin(rad);  // 输出1.0

注意：M_PI 是 <cmath> 中定义的π常量（约3.1415926535），部分编译器需定义宏 _USE_MATH_DEFINES 才能使用。

三、对数与指数函数

用于指数运算、对数计算，信奥赛中概率题、复杂度分析可能涉及：

函数原型	作用	示例	结果（近似）
double exp(double x)	计算e的x次方（eˣ）	exp(1.0)	2.718
double pow(double x, double y)	计算x的y次方（xʸ）	pow(2, 3)	8.0
double log(double x)	计算自然对数（ln x，x>0）	log(exp(1))	1.0
double log10(double x)	计算常用对数（lg x，x>0）	log10(100)	2.0

对数与指数函数

应用：快速计算幂次（如2的n次方）：

c++

double power = pow(2, 10);  // 1024.0

注意：pow 对整数运算可能有精度误差，需谨慎使用（如 pow(10, 3) 可能返回999.9999999999999，需用 round 修正）。

四、避坑指南

注意事项

1. 头文件与命名空间：
   所有函数需包含 <cmath>，且属于 std 命名空间（需用 std:: 前缀或 using namespace std;）。

2. 精度问题：
   浮点数运算存在精度误差，比较时需用“差值小于极小值”判断（如 abs(a - b) < 1e-9）。
   示例：

   c++

   double a = sqrt(2) * sqrt(2);  // 理论上为2.0，实际可能是1.9999999999999996
   if (abs(a - 2.0) < 1e-9) {  // 正确判断相等
       cout << "相等";
   }

3. 数据类型转换：
   函数返回值多为 double，若需整数结果，需显式转换（如 (int)round(3.5)）。

4. 异常处理：
   对定义域有要求的函数（如 sqrt(x) 要求x≥0，log(x) 要求x>0），需提前判断输入合法性，避免运行时错误。

五、实战代码

实战

c++

#include <iostream>
#include <cmath>  // 包含数学函数
using namespace std;

int main() {
    // 绝对值
    cout << abs(-5) << endl;         // 5
    cout << fabs(-3.14) << endl;     // 3.14

    // 取整
    cout << (int)round(3.6) << endl; // 4
    cout << (int)ceil(3.2) << endl;  // 4
    cout << (int)floor(3.8) << endl; // 3

    // 平方根与距离
    cout << sqrt(25) << endl;        // 5.0
    cout << hypot(3, 4) << endl;     // 5.0（3-4-5三角形）

    // 三角函数（弧度计算）
    double rad = 90 * M_PI / 180;    // 90度转弧度
    cout << sin(rad) << endl;        // 1.0

    // 指数与对数
    cout << pow(2, 10) << endl;      // 1024.0
    cout << log10(100) << endl;      // 2.0

    return 0;
}

总结

这些数学函数是信奥赛中处理数值计算、几何问题的基础工具，需熟练掌握其用法、精度特性及异常处理，避免因细节错误导致计算结果偏差。